В настоящий момент человечество сталкивается с широким кругом задач, где необходимость получения гарантированного результата наименьшими затратами порождает необходимость в специальной математической теории – теории оптимального управления. Например, задачи: механики полета (самонаводящиеся ракеты, автопилоты, автоматическая стыковка на орбите, управление самолетом на этапе посадки при неизвестном ветровом возмущении), ядерной энергетики (управление охлаждением реактора), робототехники («футбол» роботов, управление всевозможными станками и автоматами), экономики (задачи долговременного планирования), экологии (расчет допустимого воздействия на экосистему), биофизики и т.д.

Во всех подобных задачах есть управляемая система и показатели качества – критерии, зависящие от управления. Задача состоит в таком выборе управления, чтобы значение критерия было по возможности наибольшим. Рассмотрим подробнее конкретные задачи:

• Задача на нахождение максимума (или условного максимума) функции одной или нескольких переменных. Это статический случай – управление представляет собой скалярный вектор.
• Задачи вариационного исчисления. Это динамический случай – управление представляет собой функцию, а критерий – интегральный или терминальный функционал.
• Задачи теории игр. У нас есть несколько критериев и столько же управлений. Каждая пара «критерий-управление» отвечает отдельному игроку. Им необходимо выбрать своё управление так, чтобы независимо от действий (выбора управлений) других игроков, значение его критерия было по возможности наибольшим. Уже в этой задаче мы можем говорить лишь о «гарантированном результате» – меньше его мы не получим, а вот больше можем. Игровые задачи могут быть как статическими, так и динамическими.

Дальнейшее развитие теории и практики выделило основной объект изучения данной области науки: динамическую систему. Это понятие включает в себя достаточно широкий класс объектов, изменяющихся во времени, которые можно описать при помощи дифференциальных, интегральных, функциональных или конечноразностных уравнений. К динамическим системам, например, относятся: различные экономические объекты (от фирмы до государства), всевозможные роботы и автоматы, летательные аппараты, атомный реактор, экосистемы и т.д. Как правило, динамические системы определены на некотором конечном отрезке времени, в них могут быть заданы множества начальных и конечных состояний системы.

Динамическая система никогда не бывает замкнутой – она зависит от набора параметров, характеризующих управляющее воздействие не нее – от управления. Оно в наших руках, мы можем выбирать его из некоторого наперед заданного множества – множества допустимых управлений. Далее, существует критерий эффективности системы – функционал, зависящий от времени, переменных системы и управления. Самый простой случай – задача быстродействия. В ней критерий представляет собой время перевода системы из множества начальных состояний во множество конечных состояний. Если же рассматривается реальная экономическая система, то вид функционала гораздо более сложен.

Управление в системе может носить программный характер – зависеть только от времени или же позиционный – зависеть и от времени, и от фазовых переменных системы. А если в задаче есть неопределённый фактор (см. ниже), и управление зависит от него, то оно представляет собой контрстратегию.

Основная задача оптимального управления – выяснить, существует ли управление, переводящее систему из множества начальных состояний во множество конечных состояний, а если существует не одно, то найти такое управление, для которого значение критерия было бы по возможности наибольшим. Это постановка классической задачи.

Эта теория развивалась и совершенствовалась дальше. Кроме управления динамическая система может зависеть так же и от другого набора внешних параметров – неопределенного фактора или просто неопределенности, ибо в жизни всегда так: «Человек предполагает, а Господь располагает». Нам известно лишь множество возможных неопределенностей, а какая конкретно неопределенность реализуется – неизвестно. Поэтому мы должны выбрать управление, учитывая этот факт, быть одинаково хорошо (в смысле значения критерия эффективности) подготовленными к любой возможной неопределенности.

В системе может быть не один критерий, а несколько. Многокритериальные задачи достаточно актуальны, но их рассмотрение требует принципиально иного подхода: в частности, необходимо вводить правила сравнения векторов. Что больше, (1,3) или (2,1)? Оказывается, что здесь далеко не все безнадежно, данную задачу можно и нужно решать.

Далее, если мы рассматриваем многокритериальную динамическую задачу при неопределенности, то оказывается возможным и эффективным учитывать в задаче не только исходы (значения критериев), но и риски. Вводится понятие риска, не опирающееся на теорию вероятности, согласно принципу наименьшего сожаления Севиджа. Данная теория только разрабатывается, но в ней уже получены существенные результаты.

Можно рассматривать и игровую постановку задачи – на систему оказывает влияние не один, а несколько игроков, каждому из которых соответствует свое управление и свой критерий. При выборе управления игроку приходится учитывать не только возможные действия конкурентов, но и общую неопределенность системы.

Теория, применяемая для решения данных задач, опирается на результаты других дисциплин, таких как:
дифференциальные уравнения, выпуклый анализ, общая теория игр, теория дифференциальных игр, теория дифференциальных включений, динамическое программирование, теория многокритериальных задач, теория устойчивости, теория численных методов.

Для решения практических задач управления необходимо использование современной математики, новейшего прикладного программного обеспечения и передовых компьютерных технологий.

На кафедре оптимального управления ведется научная и педагогическая деятельность в вышеупомянутых областях, интенсивно разрабатывается программное обеспечение для решения современных прикладных задач управления.

На кафедре работают: академик, президент РАН Ю.С. Осипов; член-корреспондент РАН А.В. Кряжимский; профессора Ф.П. Васильев, М.С. Никольский, Н.Л. Григоренко, В.И. Жуковский, А.В. Дмитрук, доценты В.Г. Бойков, Ю.Н. Киселев, М.В. Орлов, М.М. Потапов, С.П. Самсонов, Е.Н. Хайлов, С.Н. Аввакумов, Н.Б. Мельников; ассистенты А.И. Смирнов, А.В. Кулевский.

Студенты имеют возможность выбирать научного руководителя и область специализации. Научные руководители ведут активную работу со студентами, перед студентами ставятся актуальные и интересные задачи, решения которых проходят все стадии исследования: разработка математической модели управляемого динамического процесса, теоретическое исследование задачи управления для математической модели, разработка и реализация численного аппарата построения управления, исследование динамики управляемого процесса при найденном управлении с помощью современных компьютерных систем, апробирование найденных управления на реальных динамических объектах, (например, мобильные роботы). Теоретические знания, полученные студентами, закрепляются и апробируются в заданиях практикума и производственной практики. Кафедра имеет связи с организациями, заинтересованными в использовании результатов теории оптимального управления и открывает широкие возможности как для научной деятельности, так и для практического внедрения полученных результатов в современную реальность.